II - Réseau

 

  L’arrangement régulier d’atomes, d’ions ou de molécules dans un cristal est nommé structure cristalline. Dans cette structure cristalline, il est possible de définir un motif qui se répète par translation dans l’espace, formant ainsi un entrecroisement appelé réseau cristallin. Il existe 14 réseaux cristallins appelés réseaux de Bravais que nous étudierons plus tard. 

 

  Un réseau est un objet mathématique infini et discret de l'espace vectoriel. Il est décrit par des vecteurs de base non coplanaires et non-colinéaires 2 à 2, qui ne forment pas forcément un système orthonormal. De manière générale, dans un espace à n dimensions, un réseau est décrit par n vecteurs de base linéairement indépendants. Le choix des vecteurs de base d'un réseau n'est pas unique.

 

  Autrement dit, un réseau est un assemblage imaginaire de points tel que chaque point possède un environnement équivalent à celui d’un autre point dans le réseau. Les points du réseau sont des nœuds. A chaque nœud correspond un motif qui peut être un atome, un ion ou une molécule. Il n'est pas utile de préciser la position de chaque atome du cristal pour le décrire. On peut se contenter de décrire le motif répétitif et dire où on doit le reproduire.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 III - Motif 

 

   Un cristal contient de nombreux motifs, constitués de quelques atomes, ions ou molécules, qui décorent le réseau et se répètent à l'infini par des opérations de translation du réseau. Les particules constituant le motif sont indépendantes les unes des autres, c'est-à-dire qu'il n'existe aucune translation du réseau permettant de passer d'un atome à un autre à l'intérieur du motif.

 

   Dans un espace à 2 dimensions, la répartition des motifs d’un réseau peut être comparée à un pavage du plan : ils recouvrent une surface sans qu’il y ait d’espace vide (ce qui explique la cohésion des cristaux). Les motifs ne cessant de se répéter, on qualifie alors le pavage des cristaux de périodique.

 

   De plus, le pavage suit des règles précises de symétries appelées symétrie d’ordre. Généralement une symétrie de rotation d’ordre n signifie qu’il existe un axe autour duquel une rotation de 1/n tour fait se superposer une forme à elle-même, c'est-à-dire au nombre de rotations nécessaires pour revenir au point de départ.

 

   Une symétrie d’ordre 3 correspondrait par exemple à un triangle régulier, celle d’ordre 5 à un pentagone régulier et celle d’ordre 6 à un hexagone régulier. Or il est impossible de paver entièrement un plan sans laisser de vide avec des pentagones ; on dit que la symétrie d’ordre 5 est apériodique et donc non applicable aux cristaux.